Hamilton và Năng lượng trạng thái riêng

Hàm sóng đại diện cho tám ràng buộc trạng thái riêng, n = 0 đến 7. Trục ngang cho thấy các vị trí x. Chú ý: tốt không bình thường, và các dấu hiệu của một số các chức năng khác nhau từ những người đưa ra trong văn bản.Tương ứng với xác suất mật độ.

Các Hamilton của hạt là:

Công thức như sau

H ^ = p ^ 2 2 m + 1 2 k x ^ 2 = p ^ 2 2 m + 1 2 m ω 2 x ^ 2 , {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}

Một người có thể viết thời gian độc lập phương trình Schrödinger,

H ^ | ψ ⟩ = E | ψ ⟩   , {\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}

Các chức năng Hn là các nhà vật lý' Nhất đa thức,

H n ( z ) = ( − 1 ) n   e z 2 d n d z n ( e − z 2 ) . {\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}

Tương ứng năng lượng được

E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) = ( 2 n + 1 ) ℏ 2 ω   . {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)=(2n+1){\hbar \over 2}\omega ~.}

Phương pháp Toán tử bậc thang

Mật độ xác suất |ψn(x)|2 cho những trạng thái riêng ràng buộc, bắt đầu với trạng thái (n = 0) xuống phía dưới và tăng năng lượng tới mức đỉnh. Trục ngang cho thấy các vị trí x, và sáng, màu sắc đại diện cho mật độ xác suất cao hơn.

Các toán tử bậc thang, được phát triển bởi Paul Dirac, cho phép tìm lời giải cho vấn đề năng lượng với giá trị riêng mà trực tiếp giải quyết các phương trình vi phân. Đó là khái quát cho một công thức phức tạp, đặc biệt là trong lĩnh vực lượng tử lý thuyết. Sau này, chúng tôi xác định khai thác a và dạng liên hợp của nó a†,

a = m ω 2 ℏ ( x ^ + i m ω p ^ ) a † = m ω 2 ℏ ( x ^ − i m ω p ^ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}

Dẫn tới một biểu thức hữu dụng như sau x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} and p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} ,

x ^ = ℏ 2 1 m ω ( a † + a ) p ^ = i ℏ 2 m ω ( a † − a )   . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}

Toán tử a không phải là một toán tử Hermitian , vì nó và dạng liên hợp a† không đồng nhất. Năng lượng của các trạng thái riêng {{Math|Bản mẫu:Ket sinh ra bởi tác dụng của các toán tử bậc thang lên các trạng thái riêng này.

a † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ a | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}